Είμαστε πλέον στο τέλος ενός μαθήματος για παιδιά μεταξύ πέντε και επτά ετών που υποθέσαμε πως δεν έχουν έλθει καθόλου σε επαφή με τους αριθμούς ή που έχουν έλθει σε μια επαφή επιφανειακή, χωρίς να έχουν συνδέσει τα σύμβολα με κάτι άλλο πέρα από τις συνηθισμένες ζωγραφιές με κάτι μήλα και κάτι πορτοκάλια.
Στο δικό μας μάθημα έχουν συνδέσει μέχρι στιγμής τα σύμβολα με χειροπιαστά σύνολα, ακόμη και με το κενό σύνολο, και είμαστε σε ένα σταυροδρόμι σχετικά με το τι θα πρέπει να γίνει παρακάτω.
Επιστημονική υποστήριξη
Πριν όμως προχωρήσουμε, η αναγνώστρια ή ο αναγνώστης θα έχει ίσως την αμφιβολία αν όλα αυτά τα προηγούμενα έχουν και κάποια κατάφαση από ανθρώπους της επιστήμης. Για τον λόγο αυτόν παραθέτουμε κάποια σύντομα αποσπάσματα από δυο βιβλία σχετικά με την έννοια του αριθμού. Στο βιβλίο «Από πού προέρχονται τα Μαθηματικά» (εκδόσεις Liberal Books) των Λακόφ και Νούνιεζ, στο κεφάλαιο για την «ενσώματη αριθμητική» (αυτή ακριβώς καλλιεργείται με τη μέθοδο που αναπτύξαμε στα προηγούμενα), αφού ξεκαθαριστεί ότι «πληθικός αριθμός» είναι ο αριθμός που ορίζει πόσα αντικείμενα υπάρχουν σε μια συλλογή (=ένα σύνολο) (στη μέθοδο γίνεται αισθητός από το πλήθος των κουμπιών σε κάθε φακελάκι), αναφέρεται ότι: «…ο σχηματισμός μιας συλλογής ή μιας στοίβας αντικειμένων απαιτεί την εννοιοποίηση αυτής της συλλογής ως περιέκτη – δηλαδή ως μιας φραγμένης περιοχής του χώρου με ένα εσωτερικό, και ένα εξωτερικό σύνορο – είτε φυσικού είτε φανταστικού. Οταν εννοιοποιούμε τους αριθμούς ως συλλογές, προβάλλουμε τη λογική των συλλογών στους αριθμούς (σημ. συντ.: και όχι ανάποδα, πρώτα να μαθαίνουμε τα ονόματα των αριθμών και μετά να ψάχνουμε για παραδείγματα). Κατ’ αυτόν τον τρόπο, εμπειρίες όπως η ομαδοποίηση, που συσχετίζεται με απλούς αριθμούς, παρέχει περαιτέρω λογική δομή σε μια διευρυμένη έννοια του αριθμού».
Εμπειρική αναγνώριση
Επίσης ο καθηγητής Ανθρωπολογίας στο Πανεπιστήμιο του Μαϊάμι Κάλεμπ Εβερετ στο βιβλίο του «Numbers and the Making of Us» γράφει σε ένα σημείο: «Δεν έχουμε την έννοια του 6, του 7 και του 8 να χοροπηδούν μέσα στο μυαλό μας περιμένοντας να γίνουν ταμπέλες. Για να εφεύρουμε τους αριθμούς (σημ. συντ.: εννοώντας μάλλον ότι ο καθένας τους «εφευρίσκει» όταν νιώθει για πρώτη φορά την ανάγκη τους, όπως τεχνητά προκαλείται στα παιδιά με τη μέθοδο που περιγράψαμε) πρέπει εμπειρικά να αναγνωρίσουμε ότι οι ποσότητες αυτές υπάρχουν (και το αναγνωρίζουμε δημιουργώντας αυτές τις συλλογές αντικειμένων μέσα στα φακελάκια)».
Και, τέλος, σημαντικό ρόλο στην ταυτοποίηση αυτή ανάμεσα στις συλλογές αντικειμένων και τις «επιγραφές» που αντιστοιχούν στους πληθικούς τους αριθμούς παίζουν η διαδοχική αύξηση του πλήθους των αντικειμένων κατά ένα και η μέθοδος της ένα προς ένα αντιστοίχισης, που θα πρέπει στα πρώτα βήματα να χρησιμοποιούνται (και να τονίζονται) όσο γίνεται πιο συχνά. Διότι πέρα από την αντίληψη του μεγέθους ενός πλήθους ατόμων ή αντικειμένων, ο άνθρωπος προχώρησε και στη νοητική διεργασία της (απ)αρίθμησης. Αυτό ήταν ένα τεράστιο βήμα στη νοητική πρόοδο του ανθρώπινου είδους που βοηθήθηκε πολύ και από την ύπαρξη των 5 + 5 δακτύλων του χεριού μας. Και είναι πολύ καλό να βρίσκουμε ευκαιρίες για παρακίνηση των παιδιών να τα χρησιμοποιούν επίσης στις πρώτες τους επαφές με τους αριθμούς.
Πνευματική Γυμναστική
- Σε ένα γήπεδο ποδοσφαίρου πριν από τη σέντρα πρέπει να στρίψουν το νόμισμα για να διαλέξουν τέρματα, αλλά το νόμισμα που έχουν και δείχνει ή κεφάλι ή γράμματα ξέρουν πως δεν είναι ακριβώς δίκαιο. Ευνοεί κάπως περισσότερο τη μία πλευρά του. Δεν έχουν άλλο νόμισμα διαθέσιμο. Υπάρχει τρόπος να βγει αποτέλεσμα που να είναι δίκαιο;
- Οταν οι δείκτες του ρολογιού δείχνουν ακριβώς 6 μια αράχνη αρχίζει να προχωρεί στην περιφέρεια ενός ρολογιού αντίθετα από τη φορά των δεικτών. Συναντά κάποια στιγμή τον λεπτοδείκτη, εκεί κάνει στροφή 180 μοιρών και συνεχίζει να περπατά περιφερειακά (με τη φορά των δεικτών πλέον) μέχρι να συναντήσει ξανά τον λεπτοδείκτη. Αυτή η δεύτερη διαδρομή διήρκεσε 20 λεπτά. Ποια ώρα έδειχναν οι δείκτες του ρολογιού τη στιγμή της δεύτερης συνάντησης της αράχνης με τον λεπτοδείκτη;
Οι απαντήσεις των προηγούμενων κουίζ
- Σε ένα χωριό είχαμε ανθρωποφάγους δαίμονες και να κοιμάται βαθιά ένας άνθρωπος. Τα δεδομένα ήταν: α) Ενας δαίμονας μπορεί να φάει τον κοιμώμενο αλλά τότε ναρκώνεται και ο ίδιος, β) Οι δαίμονες επίσης μπορούν να τρώνε άλλους δαίμονες όταν είναι σε νάρκη αλλά τότε ναρκώνονται. Είναι αρκετά έξυπνοι ώστε να σκεφθούν πότε τους συμφέρει να φάνε τον άνθρωπο. Στην αρχή υπήρχαν στο χωριό 65 δαίμονες και 1 κοιμώμενος άνθρωπος. Τι θα συμβεί στη συνέχεια; Ξεκινούμε από την περίπτωση που ήταν 1 δαίμονας και ένας 1 κοιμώμενος άνθρωπος. Τρώει ο δαίμονας τον άνθρωπο, πέφτει σε νάρκη αλλά ξέρει πως δεν κινδυνεύει να τον φάει κάποιος άλλος. Αντίθετα, αν είναι 2 οι δαίμονες, όποιος τολμήσει να φάει τον άνθρωπο ξέρει ότι στη συνέχεια θα φαγωθεί και αυτός από τον άλλον δαίμονα. Αρα με 2 δαίμονες έχουμε ισορροπία του τρόμου και ο άνθρωπος δεν θα φαγωθεί (κοιμώμενος πάντα). Με 3 δαίμονες κάποιος από όλους θα αποφασίσει να φάει τον άνθρωπο και ας ναρκωθεί διότι ξέρει πως μετά που θα μείνουν 2 ξύπνιοι θα ισχύει η προηγούμενη περίπτωση της ισορροπίας και δεν κινδυνεύει η ζωή του. Αν είναι 4, πάλι θα έχουμε τον άνθρωπο να επιβιώνει διότι όποιος θελήσει να τον φάει ξέρει ότι θα μείνουν 3 και από την προηγούμενη περίπτωση είδαμε πως ο ναρκωμένος θα κατασπαραχθεί. Από αυτή την (επαγωγική προφανώς) διαδικασία καταλαβαίνουμε ότι ο άνθρωπος θα γλίτωνε μόνον αν είχαμε ζυγό αριθμό δαιμόνων.
- Είχαμε την εξής ακολουθία ακέραιων αριθμών: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, … Ζητούνται οι επόμενοι πέντε της σειράς και ο εκατομμυριοστός. Μέχρι το πρώτο 8 εύκολα βλέπουμε πως ο κάθε επόμενος αριθμός προκύπτει προσθέτοντας τους δύο προηγούμενους. Μετά, που η πρόσθεση δίνει αποτέλεσμα μεγαλύτερο του 10, όπως είναι το: 8 + 5 = 13 εκεί προσθέτουμε τα δυο ψηφία: 1 + 3 = 4. Μετά προσθέτουμε 8 + 4 = 12 και 1 + 2 = 3 και συνεχίζουμε έτσι. Αρα οι επόμενοι πέντε όροι θα είναι: 7, 6, 4, 1, 5. Αν συνεχίσουμε έχουμε: 6, 2, 8, 1, 9, 1, 1, 2, 3… Παρατηρούμε πως μετά τον 24ο όρο η ακολουθία των αριθμών επαναλαμβάνεται. Διαιρούμε το 1 000 000 με το 24 και το υπόλοιπο είναι 16. Αρα ο 16ος όρος της σειράς είναι και ο εκατομμυριοστός: 8+7=15 1+5=6.
Έντυπη έκδοση Το Βήμα